Notemos que para el caso donde , entonces se cumple que lo cual implica que , de esta forma simplificando la representación de una señal
Por lo que podemos concluir que para señales reales, los componentes armónicos negativos y positivos están relacionados y nos podemos quedar con las componentes positivas
Sistemas LTI
Los sistemas LTI reaccionan de una forma muy satisfactoria a señalesexponenciales. Consideremos el caso de un sistema de tiempo continuo cuya respuesta al impulso es . Supongamos que la entrada al mismo es donde . La salida del sistema se puede escribir como
La acción de un sistema LTI sobre una exponencial se puede escribir entonces como
donde es lo que se denomina la transferencia del sistema. Ósea el sistema entrega a la salida la misma señal de entrada pasada por un escalar que depende sólo del sistema y del valor de
Se dice que es un autovalor para los sistemas LTI y que corresponde al autovalor asociado con y el sistema con respuesta al impulso
Que podemos concluir que la acción de un sistema LTI sobre una señal periódica es modificar los coeficientes de Fourier de la señal original mediante una multiplicación por la respuesta en frecuencia evaluada en cada uno de los múltiplos de la armónica fundamental
Propiedades
Vamos a asumir que las señales son periódicas con periodo y que cumplen todas las propiedades que discutimos arriba para que existe su representación en serie de Fourier. Denotaremos los coeficientes de Fourier como y el proceso de mapeo de en sus coeficientes y viceversa lo escribimos como
Notemos que en no esta definida, lo podemos pensar como al integrar se tenga que agregar una constante, esta sería representada con y como la integral no la define, esta no se puede definir por esta forma
