Sucesión

Definición

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Una sucesión de números complejos es una función

Notacion: * *

Caracterización

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Dada una sucesión :

1. Con :

Si es acotada tanto superior como interiormente, entonces es una acotada.

2. Con :

   • es creciente sii
   • es estrictamente creciente sii
   • es decreciente sii
   • es estrictamente decreciente sii

3. Con

   Definición

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   Una subsucesión de es una composicion donde la sucesión es estrictamente. Se trata de una Sucesión en cuyos valores se indican

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4. Con

   Definicion

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   La serie de término general es la serie

   es decir, la Sucesión tal que para cada en

   Estas sumas se denominan sumas parciales de la serie y la misma se indica tradicionalmente

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Operación entre sucesiones

Definición

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Dadas dos sucesiones , en y dados dos constantes y , quedan bien definidas las sucesiones

3. :

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Teoremas de completitud y de continuidad secuencial

Teorema 1 ()

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Toda Sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.

Teorema 2 ()

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Toda Sucesión de Cauchy en es convergente (en )

Teorema 3 ()

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Dados , una función , y un punto un Punto de acumulación, entonces

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Convergencia

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Consecuencias

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• Si una Sucesión converge a un limite, este limite es único.
• Toda Sucesión convergente es una Sucesión de Cauchy
• Si una Sucesión es convergente, toda Subsucesión de la misma converge al mismo limite que la sucesión

• Toda Sucesión constante converge a dicha constante. Por lo tanto, de la propiedad anterior se deduce que toda Sucesión en para la cual existe una constante real y un número natural tales que , converge a la constante .

• (Para ) Si , entonces para todo tal que existe tal que para todo . Analogamente cuando

• Dada una Sucesión : (muchas de estas relacionadas a operaciones de Límites)

• (Para ) (Lema del Sándwich o del Arriero): Dadas tres Sucesiónes , y , en tales que:

  • Entonces,

• (Aritmetica de limites) Dados dos Sucesiónes y , convergentes en , y dos constantes reales , :

  • , entonces

• Si la Serie converge entonces (No vale reciproca)

• Por el Teorema 1 mathbb K mathbb R se llega que

• mientras que y para todo natural .

• Para todo número real o complejo tal que entonces

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Criterios de convergencia

Criterio de Chauchy

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Definición

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Criterio de convergencia absoluta

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Definición

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Dada la Serie converge, entonces converge. No vale la reciproca

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Criterio de Dirichlet-Abel

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Definición

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Criterios para series de términos reales positivos

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Criterio de acotación

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Definición

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Dadas las hipotesis

2. Entonces converge.

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Criterio de la mayorante

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Definición

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Dadas las hipotesis

2. converge

Entonces converge.

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Criterio del cociente

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Definición

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Dadas las hipotesis

Entonces converge.

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Criterio de la raiz

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Definición

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Dadas las hipotesis

Entonces converge.

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Criterio de la integral

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Definición

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Dadas las hipotesis

1. es Integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en su dominio (esto ocurre, en particular, si es una Función continua o seccionalmente continua)
2. es positiva y decreciente (es decir: para todo par de puntos se verifica que )
3. Existe y es finito el Límite

Entonces converge.

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Criterio de Leibniz para series alternadas

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Definición

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Dadas las hipotesis

Entonces converge

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Primer criterio de Dirichlet-Abel

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Definición

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Dadas las hipotesis

Entonces converge.

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Segundo criterio de Dirichlet-Abel

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Definición

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Dadas las hipotesis

1. converge

Entonces convergue

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